Прямоугольный треугольник с гипотенузой І3 см вращается вокруг оси, содержащей катет. Длина другого равна 12 см. Найдите площаль поверхности и объем полученного тела,
Чтобы найти площадь поверхности и объем тела, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг катета, следуем следующему алгоритму.
Дано:
- Гипотенуза \( c = 13 \) см,
- Один из катетов \( a = 12 \) см.
Сначала найдем длину второго катета \( b \) с использованием теоремы Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим значения:
\[ 13^2 = 12^2 + b^2 \]
\[ 169 = 144 + b^2 \]
Теперь найдем \( b^2 \):
\[ b^2 = 169 - 144 = 25 \]
Следовательно,
\[ b = \sqrt{25} = 5 \text{ см}. \]
Теперь у нас есть катеты \( a = 12 \) см и \( b = 5 \) см.
Объем тела
При вращении треугольника вокруг одного из катетов (скажем, \( b \)), образуется конус, высота которого равна длине второго катета \( a \) и радиус основания равен длине катета \( b \).
Формула объема конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h, \]
где \( r = b \) и \( h = a \).
Подставим значения:
\[ V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi (25)(12) = \frac{1}{3} \cdot 300\pi = 100\pi \text{ см}^3. \]
Площадь поверхности
Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой площади.
- Площадь основания конуса:
\[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi (5)^2 = 25\pi \text{ см}^2. \]
- Боковая площадь конуса вычисляется по формуле:
\[ S_{\text{бок}} = \pi r l, \]
где \( l \) — образующая конуса, которую найдем с помощью теоремы Пифагора:
\[ l = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}. \]
Теперь можем найти боковую площадь:
\[ S_{\text{бок}} = \pi (5)(13) = 65\pi \text{ см}^2. \]
Теперь сложим все части для нахождения полной площади поверхности:
\[ S_{\text{пол}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 25\pi + 65\pi = 90\pi \text{ см}^2. \]
Ответ
Таким образом, объем полученного тела составляет \( 100\pi \text{ см}^3 \), а площадь поверхности равна \( 90\pi \text{ см}^2 \).
