вычислить cos(45 градусов-альфа),если cos альфа=-1/3,пи/2<альфа<пи

Для того чтобы вычислить \( \cos(45^\circ - \alpha) \), воспользуемся формулой для косинуса разности углов:

\[ \cos(45^\circ - \alpha) = \cos 45^\circ \cos \alpha + \sin 45^\circ \sin \alpha \]

Значения \(\cos 45^\circ\) и \(\sin 45^\circ\) равны:

\[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[ \cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \alpha \]

Так как у нас дано \( \cos \alpha = -\frac{1}{3} \) и угол \(\alpha\) находится в диапазоне \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \), это означает, что \(\sin \alpha\) будет положительным. Можем найти \(\sin \alpha\) с помощью основного тригонометрического соотношения:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим значение \( \cos \alpha \):

\[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{1}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

Теперь подставим значения \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) обратно в формулу для \(\cos(45^\circ - \alpha)\):

\[ \cos(45^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \] \[ = -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{6} = \frac{2 - \sqrt{2}}{6} \]

Таким образом, результатом будет:

\[ \cos(45^\circ - \alpha) = \frac{2 - \sqrt{2}}{6} \]