№3(7 баллов) Имеется два слитка металла массой 7 кг и 3 кг с разным процентным содержанием меди. От каждого из них отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезанный от первого слитка, сплавили с остатком второго слитка, а кусок, отрезанный от второго, сплавили с остатком первого. Новые слитки получились с одинаковым процентным содержанием меди. Найдите массу каждого из отрезанных кусков.

Давайте обозначим массу отрезанных кусков как \( x \) кг. Тогда от первого слитка, который весит 7 кг, отрезаем кусок весом \( x \) кг, и оставшаяся масса будет \( 7 - x \) кг. От второго слитка, вес которого 3 кг, также отрезаем кусок весом \( x \) кг, в результате чего оставшаяся масса составит \( 3 - x \) кг.

Обозначим процентное содержание меди в первом слитке как \( p_1 \)%, а во втором — как \( p_2 \)%. Тогда количество меди в первом слитке составит \( 0.01 \cdot p_1 \cdot 7 \) кг, а во втором — \( 0.01 \cdot p_2 \cdot 3 \) кг.

После отрезки кусков, у нас будут следующие составы:

1. Кусок от первого слитка, содержащий меди: \( 0.01 \cdot p_1 \cdot x \) кг, оставшаяся масса первого слитка весит \( 7 - x \) кг, из которых меди: \( 0.01 \cdot p_1 \cdot (7 - x) \) кг.

   После сплавления с остатком второго слитка, получаем новый слиток весом \( (7 - x) + x = 7 \) кг, с содержанием меди: \[ \text{Медь в новом слитке} = 0.01 \cdot p_1 \cdot (7 - x) + 0.01 \cdot p_2 \cdot (3 - x) \]

2. Кусок от второго слитка, содержащий меди: \( 0.01 \cdot p_2 \cdot x \) кг, оставшаяся масса второго слитка весит \( 3 - x \) кг, из которых меди: \( 0.01 \cdot p_2 \cdot (3 - x) \) кг.

   После сплавления с остатком первого слитка, получаем новый слиток весом \( (3 - x) + x = 3 \) кг, с содержанием меди: \[ \text{Медь в новом слитке} = 0.01 \cdot p_2 \cdot (3 - x) + 0.01 \cdot p_1 \cdot (7 - x) \]

Поскольку новые слитки имеют одинаковое процентное содержание меди, можно установить равенство для меди в этих двух случаях. Это задает уравнение:

\[ \frac{0.01 \cdot p_1 \cdot (7 - x) + 0.01 \cdot p_2 \cdot (3 - x)}{7} = \frac{0.01 \cdot p_2 \cdot (3 - x) + 0.01 \cdot p_1 \cdot (7 - x)}{3} \]

Упростим уравнение, убирая коэффициенты \( 0.01 \):

\[ \frac{p_1 (7 - x) + p_2 (3 - x)}{7} = \frac{p_2 (3 - x) + p_1 (7 - x)}{3} \]

Теперь умножаем обе стороны уравнения на \( 21 \) (наименьшее общее кратное 3 и 7):

\[ 3 \left( p_1 (7 - x) + p_2 (3 - x) \right) = 7 \left( p_2 (3 - x) + p_1 (7 - x) \right) \]

Что даст:

\[ 3p_1 (7 - x) + 3p_2 (3 - x) = 7p_2 (3 - x) + 7p_1 (7 - x) \]

Решив это уравнение, можно выразить \( x \):

Далее подводим итог. Обратите внимание, что необходимо знать значения \( p_1 \) и \( p_2 \) для окончательного решения. Однако при определённых условиях можно решить уравнение для \( x \).

При отсутствии конкретных значений за процентное содержание меди, можно сделать вывод, что \( x \) должно находиться в пределах от 0 до 3 кг (вес меньшего слитка). Попробуйте подставить значения для \( p_1 \) и \( p_2 \) от известной информации или задач, чтобы найти массу отрезанных кусков.