эллипс симметричный относительно осей координат проходит через точки M(2√6;√6) и A (6;0). составить уравнение и найти эксцентриситет

Чтобы составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через заданные точки M(2√6;√6) и A(6;0), начнем с общего уравнения эллипса:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

где \(a\) и \(b\) — полуоси эллипса. Поскольку эллипс симметричный относительно осей координат, мы можем использовать это свойство.

Сначала подставим координаты точки A(6;0) в уравнение эллипса. Так как в этой точке \(y=0\), уравнение упрощается:

\[ \frac{6^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{36}{a^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad a = 6. \]

Теперь подставим точку M(2√6;√6) в уравнение эллипса:

\[ \frac{(2\sqrt{6})^2}{36} + \frac{(\sqrt{6})^2}{b^2} = 1. \]

Вычислим:

\[ \frac{24}{36} + \frac{6}{b^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3} + \frac{6}{b^2} = 1. \]

Теперь решим это уравнение:

\[ \frac{6}{b^2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad 6 = \frac{b^2}{3} \quad \Rightarrow \quad b^2 = 18 \quad \Rightarrow \quad b = 3\sqrt{2}. \]

Теперь у нас есть полуоси: \(a = 6\) и \(b = 3\sqrt{2}\).

Эксцентриситет \(e\) эллипса можно найти по формуле:

\[ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}. \]

Подставим значения:

\[ e = \sqrt{1 - \frac{18}{36}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Таким образом, уравнение эллипса: \[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{18} = 1, \] а эксцентриситет эллипса \(e = \frac{\sqrt{2}}{2}\).