Решите уравнение: f штрих(х) =0, если f(x) =(x-2) ²(x+4)

Чтобы решить уравнение \( f'(x) = 0 \), где \( f(x) = (x-2)^2(x+4) \), нам нужно сначала найти производную функции \( f(x) \).

Используем правило произведения для производной. Обозначим \( u = (x-2)^2 \) и \( v = (x+4) \).

Производная \( u \): \[ u' = 2(x-2) \]

Производная \( v \): \[ v' = 1 \]

Теперь применим правило произведения: \[ f'(x) = u'v + uv' = 2(x-2)(x+4) + (x-2)^2 \cdot 1 \] \[ f'(x) = 2(x-2)(x+4) + (x-2)^2 \]

Теперь упростим \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2(x^2 + 2x - 8) + (x^2 - 4x + 4) \] \[ = 2x^2 + 4x - 16 + x^2 - 4x + 4 \] \[ = 3x^2 - 12 \]

Теперь установим равенство \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 12 = 0 \]

Решим это уравнение: \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 \]

Таким образом, у нас есть два корня: \( x = 2 \) и \( x = -2 \). Это точки, в которых производная функции равна нулю.