решите неравенство: f штрих(х) >0, если f(x) =2x-1/(x-1) ²
Чтобы решить неравенство \( f'(x) > 0 \) для функции \( f(x) = \frac{2x - 1}{(x - 1)^2} \), начнем с нахождения производной функции \( f(x) \).
- Найдем производную \( f'(x) \). Для этого удобно использовать правило деления:
\[ f(x) = \frac{u}{v} \quad \text{где} \quad u = 2x - 1, \quad v = (x - 1)^2. \]
Согласно правилу деления, производная \( f'(x) \) вычисляется по формуле:
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
\[ u' = 2, \] \[ v = (x - 1)^2 \Rightarrow v' = 2(x - 1). \]
Теперь подставим все в формулу для производной:
\[ f'(x) = \frac{2(x - 1)^2 - (2x - 1)(2(x - 1))}{((x - 1)^2)^2}. \]
Упрощаем числитель:
\[ = \frac{2(x - 1)^2 - (4x - 2)(x - 1)}{(x - 1)^4}. \]
Вместо того чтобы выполнять все арифметические операции сразу, удобнее подставить \( x - 1 = t \):
Тогда \( f'(x) = \frac{2t^2 - (4t + 2)t}{t^4} = \frac{2t^2 - (4t^2 + 2t)}{t^4} = \frac{-2t^2 - 2t}{t^4} = \frac{-2t(t + 1)}{t^4}.\] Дополнительно, возвращаясь к переменной \( x \):
\[ f'(x) = \frac{-2(x - 1)(x)}{(x - 1)^4} = \frac{-2x}{(x - 1)^3}. \]
Теперь решим неравенство \( f'(x) > 0 \):
\[ \frac{-2x}{(x - 1)^3} > 0. \]
Для этого рассмотрим два случая:
- Числитель \( -2x > 0 \) \( \Rightarrow x < 0 \).
- Знаменатель \( (x - 1)^3 > 0 \) \( \Rightarrow x > 1 \).
Теперь определим совместные значения:
- \( x < 0 \) и \( x > 1 \): эти условия не могут одновременно выполниться.
Таким образом, производная \( f'(x) > 0 \) не выполняется для значения \( x \) на всей числовой прямой. Функция возрастает в несуществующих интервалах.
Вместо этого, функция \( f(x) \) не имеет точек, где производная положительна, и \( f'(x) \leq 0 \) для всех \( x \) за исключением точки разрыва в \( x = 1 \), где функция не определена.
Итак, \( f'(x) > 0 \) не имеет решений.
