102. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая - 0,15. Найдите вероятность того, что горит только вторая лампочка, а первая перегорела. 103. Спортсмен четыре…

Давайте по порядку разберем все поставленные задачи.

Задача 102

Условие: Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая - 0,15. Найдите вероятность того, что горит только вторая лампочка, а первая перегорела.

Решение:

• Вероятность, что первая лампочка перегорела: \( P(A) = 0,18 \)
• Вероятность, что вторая лампочка не перегорела: \( P(B) = 1 - 0,15 = 0,85 \)

Искомая вероятность: \[ P(A \text{ и не } B) = P(A) \cdot P(B) = 0,18 \cdot 0,85 = 0,153 \]

Задача 103

Условие: Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,74. Найдите вероятность того, что спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два - промахнулся.

Решение:

• Вероятность попадания: \( p = 0,74 \)
• Вероятность промаха: \( q = 1 - p = 0,26 \)

Найдем искомую вероятность: \[ P(2 \text{ попадания и 2 промаха}) = p^2 \cdot q^2 = 0,74^2 \cdot 0,26^2 \] \[ P = 0,5476 \cdot 0,0676 \] \[ P \approx 0,0370 \]

Округляем до сотых: \[ P \approx 0,04 \]

Задача 104

Условие: Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна 0,923. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение: Обозначим:

• \( P(T > 1) = 0,923 \)
• \( P(T > 2) = 0,87 \)

Искомая вероятность: \[ P(1 < T \leq 2) = P(T > 1) - P(T > 2) = 0,923 - 0,87 = 0,053 \]

Задача 105

Условие: В торговом центре два одинаковых автомата. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна 0,2. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна 0,09. Найдите вероятность, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Решение: Обозначим \( A_1 \) и \( A_2 \) события, что лимонад закончится в первом и втором автоматах соответственно:

• \( P(A_1) = P(A_2) = 0,2 \)
• \( P(A_1 \cap A_2) = 0,09 \)

Искомая вероятность: \[ P(\text{лимонад останется в обоих}) = P(\text{не } A_1) \cdot P(\text{не } A_2) \] \[ = (1 - P(A_1)) \cdot (1 - P(A_2)) = (1 - 0,2) \cdot (1 - 0,2) = 0,8 \cdot 0,8 = 0,64 \]

Задача 106

Условие: Автоматическая система делает выстрел до уничтожения цели. Вероятность уничтожения цели при первом выстреле равна 0,5, а при каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение: Вероятность не уничтожить цель:

• После 1-го выстрела: \( 0,5 \)
• После 2-го выстрела: \( 0,2 \) (0,5 * 0,2)
• После 3-го: \( 0,5 \cdot 0,2 + 0,5 \cdot 0,8 \cdot 0,2 = 0,5^2 + 0,5 \cdot 0,8 \)

Мы ищем, когда: \[ 1 - (0,5 + 0,5 \cdot 0,2 + 0.5 \cdot (0.2)^n) \geq 0,98 \]

Решая это, мы будем добавлять выстрелы до достижения нужной вероятности.

Задача 107

Условие: Предприниматель закупает яйца. Найдите вероятность того, что яйцо из второго хозяйства.

Решение: Обозначим:

• \( P(A_1) = 0,5 \), вероятность первого хозяйства.
• \( P(A_2) = 0,5 \), вероятность второго хозяйства.

Вычислим по формуле полной вероятности яйцо из второго хозяйства:

• Вероятность высшей категории из первого хозяйства: 0,5
• Вероятность высшей категории из второго хозяйства: 0,4

Общая вероятность: \[ P(H) = P(A_1) \cdot 0,5 + P(A_2) \cdot 0,4 = 0,5 \cdot 0,5 + 0,5 \cdot 0,4 = 0,25 + 0,20 = 0,45 \]

Обозначим A = Высшая категория, P(A|Bi) - условная вероятность. По формуле Байеса: \[ P(A_2 | A) = \frac{P(A|A_2)P(A_2)}{P(A)} = \frac{0,4 \cdot 0,5}{0,45} \]

Задача 108

Условие: Найдите вероятность того, что абитуриент сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: На специальность «информатика» требуется, чтобы:

• Русский: 0,7
• Математика: 0,5
• Информатика: 0,6

Вероятность не поступить на «информатика»: \[ P(\text{не поступил на информатику}) = (1 - 0,7) \cdot (1 - 0,5) \cdot (1 - 0,6) = 0,3 \cdot 0,5 \cdot 0,4 = 0,06 \]

На специальность «робототехника»:

• Русский: 0,7
• Математика: 0,5
• Физика: 0,4

Вероятность не поступить на «робототехника»: \[ P(\text{не поступил на робототехнику}) = (1 - 0,7) \cdot (1 - 0,5) \cdot (1 - 0,4) = 0,3 \cdot 0,5 \cdot 0,6 = 0,09 \]

Теперь найдем вероятность поступления хотя бы на одну специальность: \[ P(\text{хотя бы на одну}) = 1 - P(\text{не поступил ни на одну}) \]

В итоге: \[ P(\text{не поступил ни на одну}) = P(\text{не поступил на информатику}) \cdot P(\text{не поступил на робототехнику}) = 0,06 \cdot 0,09 \] \[ P \approx 0,0054 \]

Следовательно, \[ P(\text{хотя бы на одну}) \approx 1 - 0,0054 = 0,9946 \]

Эти вычисления можно продолжать и уточнять, если ваши учителя или экзаменационные условия требуют более точных значений.