Реши систему { x+y=6 { xy=8
Чтобы решить систему уравнений
\[ \begin{cases} x + y = 6 \\ xy = 8 \end{cases} \]
сначала выразим \(y\) из первого уравнения.
Из уравнения \(x + y = 6\) получаем:
\[ y = 6 - x \]
Теперь подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение:
\[ x(6 - x) = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ 6x - x^2 = 8 \]
Перепишем это уравнение в стандартной форме:
\[ -x^2 + 6x - 8 = 0 \]
Умножим всё уравнение на -1, чтобы сделать коэффициент при \(x^2\) положительным:
\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\). Подставим значения:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \]
Посчитаем дискриминант:
\[ (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]
Получаем два возможных значения для \(x\):
- \(\frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
- \(\frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Теперь можем найти соответствующие значения \(y\):
- Если \(x = 4\), то \(y = 6 - 4 = 2\).
- Если \(x = 2\), то \(y = 6 - 2 = 4\).
Таким образом, решения системы:
\((x, y) = (4, 2)\) и \((x, y) = (2, 4)\).
Ответ: \((4, 2)\) и \((2, 4)\).
