2sin²x-3sinx+1<0

Чтобы решить неравенство \( 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 < 0 \), начнем с обозначения \( y = \sin x \). Тогда наше неравенство примет вид:

\[ 2y^2 - 3y + 1 < 0. \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \( 2y^2 - 3y + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1. \]

Корни уравнения можно найти с использованием формулы корней:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = 1, \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, корни уравнения: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = \frac{1}{2} \).

Теперь мы можем исследовать знак нашего квадратного выражения. Парабола \( 2y^2 - 3y + 1 \) имеет открытие вверх (коэффициент при \( y^2 \) положителен). Она будет меньше нуля между корнями, то есть на интервале:

\[ \frac{1}{2} < y < 1. \]

Так как \( y = \sin x \), мы получаем:

\[ \frac{1}{2} < \sin x < 1. \]

Теперь определим, для каких \( x \) это неравенство выполняется. Значения \( \sin x \) равны \( \frac{1}{2} \) при \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и при \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) (где \( k \) — любое целое число). Значение \( \sin x = 1 \) достигается при \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \).

Таким образом, решения неравенства \( 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 < 0 \) находятся в интервале:

\[ \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] и \[ \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi. \]

Это решение нашего неравенства. Если у вас остались вопросы или вам нужно больше объяснений по этому материалу, не стесняйтесь спрашивать!