Решите систему уравнения методом алгебрического сложение 3х²+у²=7 х³+2у²=9
Чтобы решить систему уравнений методом алгебрического сложения, начнем с данной системы:
- \( 3x^2 + y^2 = 7 \) (уравнение 1)
- \( x^3 + 2y^2 = 9 \) (уравнение 2)
Первое уравнение можно переписать, выразив \( y^2 \):
\[ y^2 = 7 - 3x^2 \]
Теперь подставим это значение \( y^2 \) во второе уравнение:
\[ x^3 + 2(7 - 3x^2) = 9 \]
Упрощаем уравнение:
\[ x^3 + 14 - 6x^2 = 9 \]
Переносим 9 в левую часть:
\[ x^3 - 6x^2 + 5 = 0 \]
Теперь мы можем попробовать найти корни уравнения, используя метод подбора, или синтетическое деление. Поскольку это кубическое уравнение, нам нужно проверить возможные значения \( x \).
Пусть попробуем \( x = 1 \):
\[ 1^3 - 6(1^2) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0 \]
Значит, \( x = 1 \) является корнем. Теперь мы можем разделить полином \( x^3 - 6x^2 + 5 \) на \( x - 1 \).
Так как \( x = 1 \) является корнем, можем написать:
\[ x^3 - 6x^2 + 5 = (x - 1)(Ax^2 + Bx + C) \]
Используя метод деления многочленов, делим кубическое уравнение на \( x - 1 \):
- Первое число: \( x^3 / x = x^2 \)
- Умножаем: \( x^2(x - 1) = x^3 - x^2 \)
- Вычитаем: \( (-6x^2 + x^2) + 5 = -5x^2 + 5 \)
- Далее: \( -5x^2 / x = -5 \)
- Умножаем: \( -5(x - 1) = -5x + 5 \)
- Вычитаем: \( 0 \)
Теперь мы имеем частное:
\[ x^3 - 6x^2 + 5 = (x - 1)(x^2 - 5) \]
Теперь решим уравнение \( x^2 - 5 = 0 \):
\[ x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5} \]
Таким образом, мы нашли три значения \( x \): \( x = 1 \), \( x = \sqrt{5} \), \( x = -\sqrt{5} \).
Теперь необходимо найти соответствующие значения \( y \) для этих \( x \). Подставим наши корни в уравнение (1) для нахождения \( y \):
Для \( x = 1 \): \[ y^2 = 7 - 3(1^2) = 7 - 3 = 4 \implies y = \pm 2 \] Пара: \( (1, 2) \) и \( (1, -2) \).
Для \( x = \sqrt{5} \): \[ y^2 = 7 - 3(5) = 7 - 15 = -8 \implies \text{нет действительных решений.} \]
Для \( x = -\sqrt{5} \): \[ y^2 = 7 - 3(5) = 7 - 15 = -8 \implies \text{также нет действительных решений.} \]
Таким образом, единственные действительные решения системы уравнений:
\[ (1, 2) \quad \text{и} \quad (1, -2) \]
Это и есть окончательный ответ.
