Найди площадь криволинейной трапеции при y=x²-2x+4; y=3; x=-1
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой \(y = x^2 - 2x + 4\), прямой \(y = 3\) и вертикальной линией \(x = -1\), необходимо выполнить следующие шаги.
Определить пересечения кривой и прямой: Начнем с нахождения точек пересечения прямой \(y = 3\) и параболы \(y = x^2 - 2x + 4\). Для этого приравняем уравнения: \[ x^2 - 2x + 4 = 3 \] Упростим уравнение: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] Это уравнение можно записать как: \[ (x - 1)^2 = 0 \] Таким образом, мы получаем единственное решение: \[ x = 1 \] То есть, точка пересечения находится в \(x = 1\).
Определить границы интегрирования: Мы будем интегрировать от \(x = -1\) до \(x = 1\).
Вычислить площадь: Площадь между кривой и прямой можно найти с помощью определенного интеграла. Площадь \(S\) будет равна: \[ S = \int_{-1}^{1} (y_{\text{верх}} - y_{\text{низ}}) \, dx \] В данном случае \(y_{\text{верх}} = 3\) (прямая), а \(y_{\text{низ}} = x^2 - 2x + 4\) (парабола). Таким образом, интеграл примет вид: \[ S = \int_{-1}^{1} \left(3 - (x^2 - 2x + 4)\right) \, dx \] Это упростится до: \[ S = \int_{-1}^{1} (3 - x^2 + 2x - 4) \, dx = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x - 1) \, dx \]
Вычислить интеграл: Теперь найдем интеграл: \[ S = \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x - 1) \, dx \] Это можно сделать, вычисляя интеграл по частям: \[ S = \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 - x\right]_{-1}^{1} \] Подставим границы: \[ S = \left[-\frac{1^3}{3} + 1^2 - 1\right] - \left[-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 - (-1)\right] \] Упростим: \[ S = \left[-\frac{1}{3} + 1 - 1\right] - \left[\frac{1}{3} + 1 + 1\right] \] \[ S = \left[-\frac{1}{3}\right] - \left[\frac{1}{3} + 2\right] \] \[ S = -\frac{1}{3} - \frac{1}{3} - 2 = -\frac{2}{3} - 2 = -\frac{8}{3} \]
Обратите внимание, что это вычисление можно уточнить, и итоговая площадь должна быть положительной. Поэтому примем абсолютное значение и окончательно запишем: \[ S = \frac{8}{3} \]
Таким образом, площадь криволинейной трапеции составляет \(\frac{8}{3}\).
