Для сдачи зачетов студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 - на 25 вопросов, 5- на 20 вопросов и 2- на 15. какова вероятность того что вызванный студент ответит на поставленный вопрос
Для решения данной задачи, сначала определим количество студентов, которые подготовили ответы на определённое число вопросов. У нас есть следующие данные:
- 10 студентов подготовили ответы на все 30 вопросов.
- 8 студентов подготовили ответы на 25 вопросов.
- 5 студентов подготовили ответы на 20 вопросов.
- 2 студента подготовили ответы на 15 вопросов.
Теперь посчитаем общее количество студентов, то есть 25 студентов. Какова вероятность того, что случайно выбранный студент сможет ответить на вопрос из 30?
Выделим, сколько студентов может ответить на каждый набор вопросов:
- 10 студентов могут ответить на любой из 30 вопросов.
- 8 студентов могут ответить на 25 вопросов, то есть на 25 случайных вопросов из 30.
- 5 студентов могут ответить на 20 вопросов, то есть на 20 случайных вопросов из 30.
- 2 студента могут ответить на 15 вопросов, то есть на 15 случайных вопросов из 30.
Теперь мы можем подсчитать, какая доля студентов сможет ответить на выбранный вопрос. Для этого определим количество студентов, которые могут ответить на заданный вопрос.
Пусть вопрос будет случайным. Если он попадает в первую группу 30 вопросов (где могут ответить 10 студентов), то ответ будет положительным. Для других групп вероятность зависит от того, попадает ли случайно выбранный вопрос в тот набор, на который студент подготовился:
- Студенты, которые подготовили все 30 вопросов: 10 студентов.
- Студенты, которые подготовили 25 вопросов: они ответят на выбранный вопрос с вероятностью \( \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \).
- Студенты, подготовившие 20 вопросов: ответят на выбранный вопрос с вероятностью \( \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \).
- Студенты, подготовившие 15 вопросов: ответят на выбранный вопрос с вероятностью \( \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \).
Теперь давайте вычислим общую вероятность, учитывая, сколько студентов принадлежит каждой группе.
Общая вероятность того, что вызванный студент сможет ответить на вопросы, рассчитывается, как средневзвешенная:
\[ P = \frac{10}{25} \cdot 1 + \frac{8}{25} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{25} \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{25} \cdot \frac{1}{2}. \]
Теперь упрощаем это выражение:
\[ P = \frac{10}{25} + \frac{8 \cdot 5}{25 \cdot 6} + \frac{5 \cdot 2}{25 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 1}{25 \cdot 2} = \frac{10}{25} + \frac{40}{150} + \frac{10}{75} + \frac{2}{50}. \]
Теперь найдём общий знаменатель (например, 150):
\[ P = \frac{60}{150} + \frac{40}{150} + \frac{20}{150} + \frac{6}{150} = \frac{126}{150}. \]
Упрощаем:
\[ \frac{126}{150} = \frac{21}{25}. \]
Таким образом, вероятность того, что вызванный студент сможет ответить на поставленный вопрос, составляет \( \frac{21}{25} \) или 0.84 (84%). Это довольно высокая вероятность, что говорит о том, что студенты в целом хорошо подготовились!
