Периметр треугольника равен 60 см. Длина одной из его сторон составляет 5 периметра и на 5 см больше длины другой стороны. Найдите наименьшую сторону треугольника.
Обозначим стороны треугольника как \( a \), \( b \) и \( c \). По условию, мы знаем, что периметр треугольника равен 60 см, то есть:
\[ a + b + c = 60 \]
Пусть одна из сторон, например, \( a \), равна 5 периметрам (например, 5 см), то есть:
\[ a = 5 + x \]
Где \( x \) — длина другой стороны, которая на 5 см меньше, чем \( a \):
\[ b = a - 5 = (5 + x) - 5 = x \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в уравнение для периметра:
\[ (5 + x) + x + c = 60 \]
Таким образом, мы имеем:
\[ 5 + 2x + c = 60 \]
Теперь выразим сторону \( c \):
\[ c = 60 - 5 - 2x = 55 - 2x \]
Теперь у нас есть выражения для всех трех сторон:
- \( a = 5 + x \)
- \( b = x \)
- \( c = 55 - 2x \)
Чтобы стороны могли образовать треугольник, они должны удовлетворять неравенствам треугольника:
- \( a + b > c \)
- \( a + c > b \)
- \( b + c > a \)
Подставим наши значения в неравенства:
\( (5 + x) + x > 55 - 2x \)
Упростим, получим: \[ 5 + 2x > 55 - 2x \] \[ 4x > 50 \implies x > 12.5 \]
\( (5 + x) + (55 - 2x) > x \)
Упростим: \[ 60 - x > x \implies 60 > 2x \implies x < 30 \]
\( x + (55 - 2x) > (5 + x) \)
Упростим: \[ 55 - x > 5 \implies 50 > x \]
Таким образом, получаем:
- \( x > 12.5 \)
- \( x < 30 \)
Таким образом, \( x \) может принимать значения от 12.5 до 30.
Теперь мы можем найти значение стороны \( b = x \), которая минимальна при \( x = 12.5 \):
\[ b = 12.5 \, \text{см} \]
Так как:
- \( a = 5 + 12.5 = 17.5 \, \text{см} \)
- \( c = 55 - 2 \cdot 12.5 = 30 \, \text{см} \)
Наименьшая сторона треугольника — это сторона \( b \):
\[ \boxed{12.5 \, \text{см}} \]
