При каких отрицательных значениях k прямая y = k x + 5 имеет с параболой y = x 2 − 4 x + 14 единственную общую точку (касается)?

Чтобы определить, при каких отрицательных значениях \( k \) прямая \( y = kx + 5 \) касается параболы \( y = x^2 - 4x + 14 \), нужно решить уравнение, приравняв эти два выражения. Таким образом, мы имеем:

\[ kx + 5 = x^2 - 4x + 14 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ x^2 - (4 + k)x + (14 - 5) = 0 \]

Упрощаем:

\[ x^2 - (k + 4)x + 9 = 0 \]

Для того чтобы прямая касалась параболы, данное квадратное уравнение должно иметь единственное решение. Это происходит, когда дискриминант равен нулю. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Для нашего уравнения \( a = 1 \), \( b = -(k + 4) \), \( c = 9 \). Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[ D = (-(k + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \]

Упростим:

\[ D = (k + 4)^2 - 36 \]

Для касания необходимо, чтобы дискриминант равнялся нулю:

\[ (k + 4)^2 - 36 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ (k + 4)^2 = 36 \]

Теперь найдём корни:

\[ k + 4 = 6 \quad \text{или} \quad k + 4 = -6 \]

Решая первое уравнение:

\[ k = 6 - 4 = 2 \]

Решая второе уравнение:

\[ k = -6 - 4 = -10 \]

Таким образом, \( k \) может принимать значение 2 или -10. Поскольку нас интересуют только отрицательные значения \( k \), то искомое значение:

\[ k = -10 \]

Прямая \( y = -10x + 5 \) касается параболы \( y = x^2 - 4x + 14 \) единственной точкой при \( k = -10 \).