Дано: ∠AOM = ∠COM, AO = CO. Доказать: AB = CB.

Для решения данной задачи, где \(\angle AOM = \angle COM\) и \(AO = CO\), мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников.

1. Обозначим точку \(B\) на прямой \(AC\), чтобы рассмотреть треугольники \(AOB\) и \(COB\).

2. Из условия \(AO = CO\) следует, что мы имеем два отрезка равной длины. Это значит, что базовые стороны треугольников \(AOB\) и \(COB\) равны.

3. Поскольку \(\angle AOM = \angle COM\), это также означает, что углы при основании равнобедренных треугольников равны.

Таким образом, треугольники \(AOB\) и \(COB\) равны по двум сторонам и углу между ними.

По свойству равенства треугольников получаем:

\[ AB = CB. \]

Это и требуется доказать. Таким образом, мы пришли к желаемому результату, доказав, что \(AB = CB\).