Решите уравнение: ax²-(a+1)x+1=0;

Для решения уравнения \( ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0 \) можно использовать формулу дискриминанта. Уравнение имеет вид \( Ax^2 + Bx + C = 0 \), где:

• \( A = a \)
• \( B = -(a + 1) \)
• \( C = 1 \)

Сначала найдем дискриминант \( D \):

\[ D = B^2 - 4AC \] Подставляем значения:

\[ D = (-(a + 1))^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = (a + 1)^2 - 4a \]

Теперь упростим это выражение:

\[ D = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2 \]

Так как дискриминант равен \( (a - 1)^2 \), он всегда неотрицателен, и у нас есть два случая:

1. Если \( D > 0 \) (то есть \( a \neq 1 \)), уравнение имеет два различных корня.
2. Если \( D = 0 \) (то есть \( a = 1 \)), уравнение имеет один корень (дважды).

Теперь найдем корни уравнения по формуле квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \]

Подставляем значения:

\[ x = \frac{(a + 1) \pm |a - 1|}{2a} \]

Рассмотрим два случая для \( |a - 1| \):

1. Если \( a - 1 \geq 0 \) (то есть \( a \geq 1 \)): \(|a - 1| = a - 1\) \[ x_1 = \frac{(a + 1) + (a - 1)}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \] \[ x_2 = \frac{(a + 1) - (a - 1)}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} \]

2. Если \( a - 1 < 0 \) (то есть \( a < 1 \)): \(|a - 1| = -(a - 1) = 1 - a\) \[ x_1 = \frac{(a + 1) + (1 - a)}{2a} = \frac{2}{2a} = \frac{1}{a} \] \[ x_2 = \frac{(a + 1) - (1 - a)}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 \]

Мы видим, что в любом случае корни уравнения: \[ x_1 = \frac{1}{a}, \quad x_2 = 1 \]

Таким образом, решение уравнения \( ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0 \) зависит от значения \( a \), но корни всегда будут \( \frac{1}{a} \) и \( 1 \).