При каких отрицательных значениях k прямая y=kx+5 имеет с параболой y=x^2-4x+14 единственную общую точку (касается)?

Чтобы найти отрицательные значения \( k \), при которых прямая \( y = kx + 5 \) касается параболы \( y = x^2 - 4x + 14 \), необходимо приравнять уравнения и рассмотреть условие касания.

1. Приравняем уравнения прямой и параболы: \[ kx + 5 = x^2 - 4x + 14 \] Перепишем это уравнение в стандартной форме: \[ x^2 - (4 + k)x + (14 - 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - (k + 4)x + 9 = 0 \]

2. Для того чтобы прямая касалась параболы, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -(k + 4) \), \( c = 9 \). Таким образом, дискриминант равен: \[ D = (-(k + 4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (k + 4)^2 - 36 \]

3. Условие касания требует, чтобы дискриминант был равен нулю: \[ (k + 4)^2 - 36 = 0 \] Решим это уравнение: \[ (k + 4)^2 = 36 \] Данное уравнение имеет два решения: \[ k + 4 = 6 \quad \text{или} \quad k + 4 = -6 \] То есть: \[ k = 6 - 4 = 2 \quad \text{или} \quad k = -6 - 4 = -10 \]

4. Поскольку нас интересуют только отрицательные значения \( k \), то мы рассматриваем только результат \( k = -10 \).

Таким образом, прямая \( y = kx + 5 \) будет касаться параболы \( y = x^2 - 4x + 14 \) при \( k = -10 \).