5x^4-7x^2-12=0.
Чтобы решить уравнение \(5x^4 - 7x^2 - 12 = 0\), давайте заменим \(y = x^2\). Это преобразует наше уравнение в уравнение второго порядка:
\[5y^2 - 7y - 12 = 0.\]
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]
где \(a = 5\), \(b = -7\), и \(c = -12\).
Сначала вычислим дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 49 + 240 = 289.\]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня. Теперь подставим значения в формулу:
\[y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 17}{10}.\]
Теперь решим для \(y\):
- \(y_1 = \frac{7 + 17}{10} = \frac{24}{10} = 2.4\),
- \(y_2 = \frac{7 - 17}{10} = \frac{-10}{10} = -1.\)
Теперь вернемся к \(x\). У нас есть два случая:
\(y_1 = 2.4\), значит \(x^2 = 2.4\), что дает
\[x = \sqrt{2.4} \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{2.4}.\]
\(y_2 = -1\) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, корни первоначального уравнения:
\[x = \sqrt{2.4} \quad \text{и} \quad x = -\sqrt{2.4}.\]
Эти значения \(x\) можно также приближенно вычислить:
\(\sqrt{2.4} \approx 1.55\),
поэтому окончательные корни:
\[x \approx 1.55 \quad \text{и} \quad x \approx -1.55.\]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разобраться с другой темой, не стесняйтесь спрашивать!
