2cos²x+3sinx=3
Чтобы решить уравнение \(2\cos^2 x + 3\sin x = 3\), начнем с использования тригонометрической идентичности, которая утверждает, что \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Это позволяет нам выразить уравнение только через синус.
Заменяем \(\cos^2 x\): \[ 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 \]
Раскрываем скобки: \[ 2 - 2\sin^2 x + 3\sin x = 3 \]
Переносим все на одну сторону: \[ -2\sin^2 x + 3\sin x + 2 - 3 = 0 \] \[ -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \]
Умножим уравнение на \(-1\) для упрощения: \[ 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Обозначим \(\sin x = y\): \[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \]
Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
Находим корни уравнения по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{4} \] \[ y_1 = \frac{4}{4} = 1, \quad y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Теперь возвращаемся к синусу: \[ \sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2} \]
Находим значения \(x\):
- Для \(\sin x = 1\): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
- Для \(\sin x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, общий ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
