2sin²x-cosx=1
Чтобы решить уравнение \(2\sin^2x - \cos x = 1\), давайте сначала преобразуем его. Мы знаем, что \(\sin^2x\) можно выразить через \(\cos x\) с помощью тригонометрической тождества:
\[ \sin^2x = 1 - \cos^2x. \]
Подставим это в уравнение:
\[ 2(1 - \cos^2x) - \cos x = 1. \]
Раскроем скобки:
\[ 2 - 2\cos^2x - \cos x = 1. \]
Переносим 1 в левую часть уравнения:
\[ 2 - 1 - 2\cos^2x - \cos x = 0. \]
Это упрощается до:
\[ -2\cos^2x - \cos x + 1 = 0. \]
Умножим всё уравнение на -1 для упрощения:
\[ 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0. \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Обозначим \(\cos x = y\). Уравнение принимает вид:
\[ 2y^2 + y - 1 = 0. \]
Теперь решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 2\), \(b = 1\), и \(c = -1\):
\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}. \]
Теперь находим корни:
- \(y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},\)
- \(y_2 = \frac{-4}{4} = -1.\)
Теперь вернемся к \(\cos x\):
Для \(\cos x = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}. \]
Для \(\cos x = -1\): \[ x = \pi + 2k\pi, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}. \]
Таким образом, общее решение уравнения будет:
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \pi + 2k\pi. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!
