Известны координаты вершин треугольника AВС: A(0;3;4), B(4;-1;2), C(1;1;2). Найти длину его медианы, проведенной через вершину С.

Чтобы найти длину медианы, проведенной через вершину \( C \) треугольника \( ABC \), нужно сначала определить координаты середины отрезка \( AB \).

1. Сначала найдем координаты точки \( M \) — середины отрезка \( AB \).

Координаты точки \( M \) можно найти, используя формулу для нахождения середины отрезка: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \]

Подставим координаты точек \( A(0; 3; 4) \) и \( B(4; -1; 2) \):

\[ M = \left( \frac{0 + 4}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{4 + 2}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2}, \frac{6}{2} \right) = (2, 1, 3) \]

2. Теперь найдем длину медианы \( CM \). Длина отрезка \( CM \) рассчитывается по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: \[ d = \sqrt{(x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2 + (z_C - z_M)^2} \]

Подставим координаты точки \( C(1; 1; 2) \) и координаты точки \( M(2; 1; 3) \): \[ d = \sqrt{(1 - 2)^2 + (1 - 1)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]

Таким образом, длина медианы, проведенной через вершину \( C \), равна \( \sqrt{2} \).