Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,8. Найдите вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
Для решения задачи о вероятности трех попаданий при четырех выстрелах, где вероятность одного попадания составляет 0,8, мы можем использовать формулу для биномиального распределения.
Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( n \) — общее количество испытаний (в данном случае 4 выстрела),
- \( k \) — количество успешных испытаний (попаданий, в данном случае 3),
- \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании (в данном случае 0,8),
- \( \binom{n}{k} \) — это коэффициент комбинации, который мы можем вычислить как \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
Теперь подставим значения:
- \( n = 4 \)
- \( k = 3 \)
- \( p = 0,8 \)
Сначала найдем коэффициент комбинации:
\[ \binom{4}{3} = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4 \]
Теперь подставим все значения в формулу:
\[ P(X = 3) = 4 \cdot (0,8)^3 \cdot (1 - 0,8)^{4-3} \]
Сначала вычислим \( (0,8)^3 \):
\[ (0,8)^3 = 0,512 \]
Теперь найдем \( (1 - 0,8)^{1} = 0,2^{1} = 0,2 \).
Теперь можем продолжить:
\[ P(X = 3) = 4 \cdot 0,512 \cdot 0,2 = 4 \cdot 0,1024 = 0,4096 \]
Таким образом, вероятность того, что при четырех выстрелах произойдет ровно три попадания, составляет 0,4096 или 40,96%.
