|z-i|= |z+4|
Для решения уравнения \( |z - i| = |z + 4| \), где \(z\) является комплексным числом, начнем с понимания, что модуль комплексного числа представляет собой расстояние от точки на комплексной плоскости до начала координат.
Запишите \(z\) в виде \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — вещественные числа.
Подставим \(z\) в уравнение: \[ |z - i| = |(x + yi) - i| = |x + (y - 1)i| = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \] \[ |z + 4| = |(x + 4) + yi| = |(x + 4) + yi| = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2} \]
Теперь у нас есть уравнение: \[ \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2} \]
Возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: \[ x^2 + (y - 1)^2 = (x + 4)^2 + y^2 \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 + 8x + 16) + y^2 \]
Упростим уравнение: \[ x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 8x + 16 + y^2 \]
Убираем \(x^2\) и \(y^2\) с обеих сторон: \[ -2y + 1 = 8x + 16 \] \[ -2y = 8x + 15 \] \[ y = -4x - \frac{15}{2} \]
Таким образом, у вас есть линейное уравнение, которое описывает прямую на комплексной плоскости, где точки \(z\) равны по расстоянию от точек \(i\) и \(-4\). Это значит, что все комплексные числа \(z\), лежащие на этой прямой, будут решением вашего уравнения.
