Дано прямоугольник ABCD. Точки K, L, M, N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN.
Для решения задачи начнем с рассмотрения прямоугольника ABCD и его средних точек K, L, M, N.
Определение точек:
- Пусть прямоугольник ABCD имеет вершины следующим образом: A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b) (где a и b - длины сторон).
- Тогда точки K, L, M, N, являющиеся серединами сторон, будут:
- K(0, b/2) — середина AD,
- L(a/2, 0) — середина AB,
- M(a, b/2) — середина BC,
- N(a/2, b) — середина CD.
Нахождение координат треугольника LMN:
- Точки треугольника LMN имеют координаты:
- L(a/2, 0),
- M(a, b/2),
- N(a/2, b).
- Точки треугольника LMN имеют координаты:
Площадь треугольника LMN: Для нахождения площади треугольника, можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \times |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \] Подставляя координаты:
- \(x_1 = \frac{a}{2}, y_1 = 0\)
- \(x_2 = a, y_2 = \frac{b}{2}\)
- \(x_3 = \frac{a}{2}, y_3 = b\)
Получаем: \[ S = \frac{1}{2} \times \left| \frac{a}{2} \left( \frac{b}{2} - b \right) + a \left( b - 0 \right) + \frac{a}{2} \left( 0 - \frac{b}{2} \right) \right| \] Упростим выражение: \[ S = \frac{1}{2} \times \left| \frac{a}{2} \left(-\frac{b}{2}\right) + ab - \frac{ab}{4} \right| = \frac{1}{2} \times \left| -\frac{ab}{4} + ab - \frac{ab}{4} \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times \left| ab - \frac{ab}{2} \right| = \frac{1}{2} \times \left( \frac{ab}{2} \right) = \frac{ab}{4} \]
Площадь прямоугольника ABCD: Площадь прямоугольника ABCD равна \(S_{ABCD} = ab\).
Вычисление вероятности: Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет внутри треугольника LMN: \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать треугольнику LMN, равна \(\frac{1}{4}\) или 25%.
