Чтобы шифровать на лету голос человека методом одноразовых блокнотов, нужен ключ, генерируемый со скоростью 5 кбит/с. Пусть лазерные импульсы, следующие с частотой 1 Гц, содержат 0,1 фотон на импульс; потери в канале 0,3 дБ/км; эффективность детекторов – 10%. Найдите максимальное расстояние квантового распределения ключа по протоколу B84 для шифрования голоса. Пренебрегите темновым счетом детекторов и возможными атаками Евы с разделением числа фотонов.
Для решения задачи необходимо использовать принципы квантовой криптографии и учитывать параметры, упомянутые в вопросе.
Определим характеристики системы:
- Частота лазерных импульсов: \(1\) Гц
- Среднее количество фотонов на импульс: \(0,1\) фотон
- Потери в канале: \(0,3\) дБ/км
- Эффективность детекторов: \(10\%\)
- Скорость генерации ключа: \(5\) кбит/с
Потери в канале: Потери в дБ можно перевести в десятичный вид. Для этого вспомним формулу: \[ L = 10^{\frac{P_{dB}}{10}} \] где \(P_{dB}\) — потери в дБ. Из этого следует, что для каждого километра потерь в \(0,3\) дБ: \[ L_{km} = 10^{\frac{0,3}{10}} \approx 1,0007 \]
То есть потери в \(1\) км составляют примерно \(0,0007\) раз от исходного значения.
Расчет вероятности обнаружения одного фотона: У нас есть \(0,1\) фотона, и учитывая эффективность детекторов \(10\%\), вероятность того, что детектор зарегистрирует фотон, равна: \[ P_{det} = 0,1 \times 0,1 = 0,01 \]
Максимальное количество импульсов на километр: Так как у нас есть \(1\) импульс в секунду, каждый импульс проходит отдельно. Для расчета максимального расстояния, на котором можно распределить ключ, воспользуемся уравнением:
\[ R = \frac{N_{key}}{N_{det} \cdot P_{det}} \cdot L = \frac{5 \text{ кбит/с}}{1 \text{ имп./с} \cdot 0,01} \]
Здесь \(N_{key}\) — необходимое количество импульсов, \(N_{det}\) — количество детекторов \(= 1\) (в данном случае для упрощения), а \(P_{det}\) — вероятность обнаружения.
Перепишем это как: \[ R = \frac{5 \cdot 1000}{1 \cdot 0,01} = 500000 \, \text{км} \]
Которые запасы на расстоянии: Учтем потери на расстоянии. Если \(L\) на \(1\) км примерно \(0,0007\), то для расстояния \(x\) можно записать: \[ P_{loss} = 1 (допустимые потери) - 0,0007^x \] ) где \(x\) — общее расстояние в км. Сравнивая с максимально допустимыми потерями.
Таким образом, основное расстояние, по которому возможно распределение ключа, достигается при правильном учете всех величин и ограничений. Ответ будет зависеть от того, насколько далеки потери относительно выходных данных.
В итоге, максимальное расстояние, на котором можно осуществить распределение ключа по протоколу B84 для шифрования голоса будет значительно меньше, чем 500 км, и его необходимо пересчитать с учетом потерь, чтобы получить корректное значение, которое учитывает все потери в системе.
