Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 4 ,5 ,7

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, можно использовать формулу:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \( R \) — радиус описной окружности, \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( S \) — площадь треугольника.

1. В данном случае стороны треугольника равны: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 7 \).

2. Сначала найдем полупериметр треугольника \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

3. Теперь можем найти площадь \( S \) треугольника с помощью формулы Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

4. Теперь можем подставить значения в формулу для радиуса \( R \):

\[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 2\sqrt{6}} \]

5. Посчитаем числитель:

\[ 4 \cdot 5 \cdot 7 = 140 \]

Таким образом, радиус \( R \):

\[ R = \frac{140}{8\sqrt{6}} = \frac{35}{2\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{12} \]

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 4, 5 и 7 равен:

\[ R = \frac{35\sqrt{6}}{12} \]