Чему равна высота трапеции M N K L MNKL , если M ( − 1 ; − 3 ) M(−1;−3) , N ( − 3 ; 3 ) N(−3;3) , K ( 3 ; 5 ) K(3;5) , L ( 8 ; 0 ) L(8;0) ?
Чтобы найти высоту трапеции \( MNKL \) с вершинами \( M(-1; -3) \), \( N(-3; 3) \), \( K(3; 5) \) и \( L(8; 0) \), нам необходимо выяснить, какие из сторон являются основаниями, а также определить расстояние между ними.
Определение оснований: В трапеции параллельные стороны называют основаниями. В данном случае, нужно определить, какие из сторон \( MN \) и \( KL \) являются основаниями. Чтобы это сделать, найдем их наклон.
Для отрезка \( MN \): \[ \text{Координаты } M(-1; -3) \text{ и } N(-3; 3). \] Наклон (угловой коэффициент) вычисляется как: \[ k_{MN} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-3)}{-3 - (-1)} = \frac{6}{-2} = -3. \]
Для отрезка \( KL \): \[ \text{Координаты } K(3; 5) \text{ и } L(8; 0). \] Наклон (угловой коэффициент): \[ k_{KL} = \frac{0 - 5}{8 - 3} = \frac{-5}{5} = -1. \]
Из вычислений видно, что линии \( MN \) и \( KL \) имеют разные наклоны, следовательно, это действительно параллельные стороны трапеции.
Выбор формулы для высоты: Высота трапеции может быть найдена через расстояние между двумя параллельными прямыми. Убедимся сначала, что эти прямые имеют уравнения.
Уравнение прямой \( MN \): Поскольку мы знаем наклон и одну точку (например, \( M \)): \[ y + 3 = -3(x + 1) \Rightarrow y = -3x - 3 - 3 = -3x - 6. \] Так, уравнение прямой \( MN \): \[ 3x + y + 6 = 0. \]
Уравнение прямой \( KL \): Аналогично: \[ y - 0 = -1(x - 8) \Rightarrow y = -x + 8. \] Соответственно, уравнение: \[ x + y - 8 = 0. \]
Расстояние между двумя параллельными прямыми: Формула расстояния \( d \) между двумя параллельными прямыми вида \( Ax + By + C_1 = 0 \) и \( Ax + By + C_2 = 0 \) определяется как: \[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}. \] В нашем случае:
- Для \( MN \): \( C_1 = 6 \) (из \( 3x + y + 6 = 0 \)),
- Для \( KL \): \( C_2 = -8 \) (из \( x + y - 8 = 0 \)).
Подставляем значения в формулу: \[ d = \frac{|-8 - 6|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-14|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{14}{\sqrt{10}} = \frac{14\sqrt{10}}{10} = \frac{7\sqrt{10}}{5}. \]
Таким образом, высота трапеции \( MNKL \) равна \( \frac{7\sqrt{10}}{5} \).
