5°. В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося…

Для решения задачи, начнем с обозначения радиусов окружностей. Пусть радиус меньшей окружности равен \( r_1 \), а радиус большей окружности — \( r_2 \).

Из условия задачи известно, что ширина кольца между окружностями равна 8, то есть:

\[ r_2 - r_1 = 8 \]

Также нам известно, что хорда длиной 32 в большей окружности касается меньшей окружности. Из геометрии следует, что если хорда касается меньшей окружности, то расстояние от центра окружностей до хордовой линии равняется радиусу меньшей окружности \( r_1 \).

Мы можем представить хорду и радиусы окружностей в виде прямоугольного треугольника. В этом треугольнике:

• Перпендикуляр, проведенный из центра окружности до середины хорды, будет равен \( r_1 \).
• Половина длины хорды равна \( 16 \) (половина от 32).
• Радиус большей окружности \( r_2 \) будет гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, у нас есть:

\[ r_2^2 = r_1^2 + 16^2 \]

Подставим \( r_2 = r_1 + 8 \) в уравнение:

\[ (r_1 + 8)^2 = r_1^2 + 16^2 \]

Раскроем скобки:

\[ r_1^2 + 16r_1 + 64 = r_1^2 + 256 \]

Упростим уравнение, вычитая \( r_1^2 \) из обеих сторон:

\[ 16r_1 + 64 = 256 \]

Теперь вычтем 64 из обеих сторон:

\[ 16r_1 = 192 \]

Разделим обе стороны на 16:

\[ r_1 = 12 \]

Теперь, используя значение \( r_1 \), найдем радиус большей окружности \( r_2 \):

\[ r_2 = r_1 + 8 = 12 + 8 = 20 \]

Таким образом, радиусы окружностей равны:

• Радиус меньшей окружности \( r_1 = 12 \)
• Радиус большей окружности \( r_2 = 20 \)

Ответ: радиус меньшей окружности 12, радиус большей окружности 20.