1. Три орудия сделали залп по цели. Два орудия попали в цель. Найти вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, если вероятности попадания в цель для орудий соответственно равны 0.1, 0.9, 0.95.

Question 1

Задача Задача №2434896

А

Аноним

07 декабря 2024 07:01 · публичный вопрос

А

Аноним 07 декабря 2024 07:01

1. Три орудия сделали залп по цели. Два орудия попали в цель. Найти вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, если вероятности попадания в цель для орудий соответственно равны 0.1, 0.9, 0.95.

Answer

Для решения этой задачи мы применим формулу условной вероятности.

Обозначим:

\( A_1 \): событие, что 1-е орудие попало в цель.
\( A_2 \): событие, что 2-е орудие попало в цель.
\( A_3 \): событие, что 3-е орудие попало в цель.
\( B \): событие, что ровно два орудия попали в цель.

Итак, мы хотим найти \( P(A_1 \mid B) \), т.е. вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, при условии, что ровно два орудия попали в цель.

Согласно формуле Байеса: \[ P(A_1 \mid B) = \frac{P(B \mid A_1) P(A_1)}{P(B)} \]

Теперь нам нужно найти каждую из этих вероятностей.

Найдем \( P(A_1) \): \[ P(A_1) = 0.1 \]
Найдем \( P(B \mid A_1) \) – вероятность того, что ровно два орудия попали в цель при условии, что 1-е орудие попало в цель. В этом случае 2-е или 3-е орудие должны попасть в цель, но не оба:
- 2-е попало, 3-е не попало: \( P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) = 0.9 \cdot (1 - 0.95) = 0.9 \cdot 0.05 = 0.045 \)
- 3-е попало, 2-е не попало: \( (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3) = (1 - 0.9) \cdot 0.95 = 0.1 \cdot 0.95 = 0.095 \)
Теперь сложим эти вероятности: \[ P(B \mid A_1) = 0.045 + 0.095 = 0.14 \]
Найдем \( P(B) \) – вероятность того, что ровно два орудия попали в цель. Мы можем рассмотреть три случая:
- Попали 1-е и 2-е, не попало 3-е: \[ P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) = 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.05 = 0.00045 \]
- Попали 1-е и 3-е, не попало 2-е: \[ P(A_1) \cdot (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3) = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.95 = 0.0095 \]
- Попали 2-е и 3-е, не попало 1-е: \[ (1 - P(A_1)) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.95 = 0.76785 \]
Теперь сложим эти вероятности: \[ P(B) = 0.00045 + 0.0095 + 0.76785 = 0.7778 \]

Теперь подставим все значения в формулу Байеса: \[ P(A_1 \mid B) = \frac{P(B \mid A_1) P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.14 \cdot 0.1}{0.7778} \approx \frac{0.014}{0.7778} \approx 0.018 \]

Таким образом, вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, если ровно два орудия попали в цель, составляет примерно 0.018 или 1.8%.

Question 2

1. Три орудия сделали залп по цели. Два орудия попали в цель. Найти вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, если вероятности попадания в цель для орудий соответственно равны 0.1, 0.9, 0.95.

Answer

Для решения этой задачи мы применим формулу условной вероятности. Обозначим: - \( A_1 \): событие, что 1-е орудие попало в цель. - \( A_2 \): событие, что 2-е орудие попало в цель. - \( A_3 \): событие, что 3-е орудие попало в цель. - \( B \): событие, что ровно два орудия попали в цель. Итак, мы хотим найти \( P(A_1 \mid B) \), т.е. вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, при условии, что ровно два орудия попали в цель. Согласно формуле Байеса: \[ P(A_1 \mid B) = \frac{P(B \mid A_1) P(A_1)}{P(B)} \] Теперь нам нужно найти каждую из этих вероятностей. 1. Найдем \( P(A_1) \): \[ P(A_1) = 0.1 \] 2. Найдем \( P(B \mid A_1) \) – вероятность того, что ровно два орудия попали в цель при условии, что 1-е орудие попало в цель. В этом случае 2-е или 3-е орудие должны попасть в цель, но не оба: - 2-е попало, 3-е не попало: \( P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) = 0.9 \cdot (1 - 0.95) = 0.9 \cdot 0.05 = 0.045 \) - 3-е попало, 2-е не попало: \( (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3) = (1 - 0.9) \cdot 0.95 = 0.1 \cdot 0.95 = 0.095 \) Теперь сложим эти вероятности: \[ P(B \mid A_1) = 0.045 + 0.095 = 0.14 \] 3. Найдем \( P(B) \) – вероятность того, что ровно два орудия попали в цель. Мы можем рассмотреть три случая: - Попали 1-е и 2-е, не попало 3-е: \[ P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot (1 - P(A_3)) = 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.05 = 0.00045 \] - Попали 1-е и 3-е, не попало 2-е: \[ P(A_1) \cdot (1 - P(A_2)) \cdot P(A_3) = 0.1 \cdot 0.1 \cdot 0.95 = 0.0095 \] - Попали 2-е и 3-е, не попало 1-е: \[ (1 - P(A_1)) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0.9 \cdot 0.9 \cdot 0.95 = 0.76785 \] Теперь сложим эти вероятности: \[ P(B) = 0.00045 + 0.0095 + 0.76785 = 0.7778 \] Теперь подставим все значения в формулу Байеса: \[ P(A_1 \mid B) = \frac{P(B \mid A_1) P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.14 \cdot 0.1}{0.7778} \approx \frac{0.014}{0.7778} \approx 0.018 \] Таким образом, вероятность того, что 1-е орудие попало в цель, если ровно два орудия попали в цель, составляет примерно 0.018 или 1.8%.