Плот преодолевает расстояние между пунктами А и Б по реке за 20 часов, а моторная лодка, двигаясь против течения, за 5 часов. За сколько минут лодка проплывëт расстояние между…

Для решения этой задачи давайте обозначим определенные величины:

• Пусть \( d \) — расстояние между пунктами А и Б.
• Скорость плота в тишине — \( v_{плот} \).
• Скорость моторной лодки в тишине — \( v_{лодка} \).
• Скорость течения реки — \( v_{течение} \).

Из условия задачи мы знаем, что плот преодолевает расстояние \( d \) за 20 часов. Следовательно, его скорость можно выразить как:

\[ v_{плот} = \frac{d}{20} \]

Также, моторная лодка движется против течения и преодолевает расстояние \( d \) за 5 часов, поэтому её скорость против течения будет:

\[ v_{лодка} - v_{течение} = \frac{d}{5} \]

Теперь, поскольку плот движется по той же реке, но не подвержен влиянию скорости течения, можно записать:

\[ v_{лодка} + v_{течение} = v_{плот} \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( v_{плот} = \frac{d}{20} \)
2. \( v_{лодка} - v_{течение} = \frac{d}{5} \)
3. \( v_{лодка} + v_{течение} = v_{плот} \)

Подставим выражение для \( v_{плот} \) из первого уравнения во второе и третье уравнения.

Сначала пересчитаем уравнение для лодки:

\[ v_{лодка} - v_{течение} = \frac{d}{5} \quad \text{(1)} \] \[ v_{лодка} + v_{течение} = \frac{d}{20} \quad \text{(2)} \]

Теперь сложим уравнения (1) и (2):

\[ (v_{лодка} - v_{течение}) + (v_{лодка} + v_{течение}) = \frac{d}{5} + \frac{d}{20} \]

Это даёт:

\[ 2v_{лодка} = \frac{4d}{20} + \frac{d}{20} = \frac{5d}{20} = \frac{d}{4} \]

Следовательно:

\[ v_{лодка} = \frac{d}{8} \]

Теперь нам нужно найти скорость лодки по течению:

\[ v_{лодка} + v_{течение} = \frac{d}{20} \]

Заменим \( v_{лодка} \):

\[ \frac{d}{8} + v_{течение} = \frac{d}{20} \]

Преобразуем это уравнение для нахождения скорости течения:

\[ v_{течение} = \frac{d}{20} - \frac{d}{8} \]

Находим общий знаменатель (40):

\[ v_{течение} = \frac{2.5d}{40} - \frac.5d}{40} = \frac{d}{40} \]

Теперь можем найти скорость лодки по течению:

\[ v_{лодка} + v_{течение} = \frac{d}{8} + \frac{d}{40} \]

Находим общий знаменатель (40):

\[ v_{лодка по течению} = \frac{5d}{40} + \frac{d}{40} = \frac{6d}{40} = \frac{3d}{20} \]

Теперь, чтобы найти время, необходимое для проплыва лодки по течению расстояние \( d \):

\[ t = \frac{d}{\frac{3d}{20}} = \frac{20}{3} \text{ часов} \]

Теперь переведем часы в минуты:

\[ t = \frac{20}{3} \text{ ч} \times 60 \text{ мин/ч} = 400 \text{ мин} \]

Таким образом, лодка проплывет расстояние между пунктами А и Б по течению за 400 минут.