найдите производную функции f(x)= (x^4+2)(x^5+9x^20+1)
Для нахождения производной функции \( f(x) = (x^4 + 2)(x^5 + 9x^{20} + 1) \) используем правило произведения. Правило произведения гласит, что если \( u(x) \) и \( v(x) \) — это две дифференцируемые функции, то производная их произведения \( f(x) = u(x)v(x) \) вычисляется по следующей формуле:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
В нашем случае:
- \( u(x) = x^4 + 2 \)
- \( v(x) = x^5 + 9x^{20} + 1 \)
Теперь найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \):
Для \( u(x) = x^4 + 2 \): \[ u'(x) = 4x^3 \]
Для \( v(x) = x^5 + 9x^{20} + 1 \): \[ v'(x) = 5x^4 + 180x^{19} \]
Теперь подставим эти производные в правило произведения:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
Подставляем \( u'(x) \), \( u(x) \), \( v(x) \) и \( v'(x) \):
\[ f'(x) = (4x^3)(x^5 + 9x^{20} + 1) + (x^4 + 2)(5x^4 + 180x^{19}) \]
Теперь необходимо раскрыть скобки:
Сначала умножим \( 4x^3 \) на \( v(x) \): \[ 4x^3 \cdot x^5 = 4x^8 \] \[ 4x^3 \cdot 9x^{20} = 36x^{23} \] \[ 4x^3 \cdot 1 = 4x^3 \] В итоге: \[ 4x^8 + 36x^{23} + 4x^3 \]
Теперь умножим \( u(x) \) на \( v'(x) \): \[ (x^4 + 2)(5x^4) = 5x^8 + 10x^4 \] \[ (x^4 + 2)(180x^{19}) = 180x^{23} + 360x^{19} \] В итоге: \[ 5x^8 + 10x^4 + 180x^{23} + 360x^{19} \]
Теперь Combine все части:
\[ f'(x) = (4x^8 + 36x^{23} + 4x^3) + (5x^8 + 10x^4 + 180x^{23} + 360x^{19}) \]
Соберем подобные члены:
- \( 4x^8 + 5x^8 = 9x^8 \)
- \( 36x^{23} + 180x^{23} = 216x^{23} \)
Таким образом, окончательная производная будет выглядеть следующим образом:
\[ f'(x) = 216x^{23} + 9x^8 + 360x^{19} + 10x^4 + 4x^3 \]
Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.
