Давайте разберёмся с предложениями и постараемся сделать их грамматически правильными.
"Подходя к дому, лай собак."
Правильный вариант: "Подходя к дому, я услышал лай собак."
Здесь необходимо добавить подлежащее и сказуемое."Сидя у окна, прекрасный сад."
Правильный вариант: "Сидя у окна, я наблюдал прекрасный сад."
Опять же, добавляем подлежащее и сказуемое."Приступая работе, как можно больше источников."
Правильный вариант: "Приступая к работе, я использую как можно больше источников."
Также необходимо добавить подлежащее и сказуемое, и исправить предлог."Заигравшись дотемна, домой."
Правильный вариант: "Заигравшись до темна, я пошёл домой."
Здесь нужно также добавить подлежащее и сказуемое, и использовать правильную форму слова "до темна"."Накатавшись на катке, усталость."
Правильный вариант: "Накатавшись на катке, я почувствовал усталость."
Снова добавляем подлежащее и сказуемое."Поселившись в деревне, мечты."
Правильный вариант: "Поселившись в деревне, я начал мечтать."
Здесь также добавляется подлежащее и сказуемое.
Таким образом, все предложения могут быть улучшены добавлением нужных частей для полноты смысла. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими примерами, не стесняйтесь спрашивать!