Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ℎ(𝑡) = 1, 6 + 8𝑡 − 5𝑡 , где 2 ℎ – высота в метрах, 𝑡 – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?

Давайте разберем уравнение для высоты мяча:

\[ h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2 \]

Нам нужно узнать, в течение какого времени мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров. Для этого мы уравниваем высоту с тремя метрами:

\[ 1,6 + 8t - 5t^2 \geq 3 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ -5t^2 + 8t + 1,6 - 3 \geq 0 \]

Упрощаем:

\[ -5t^2 + 8t - 1,4 \geq 0 \]

Умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

\[ 5t^2 - 8t + 1,4 \leq 0 \]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1,4 = 64 - 28 = 36 \]

Корни уравнения можно найти по формуле:

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 6}{10} \]

Находим корни:

1. \( t_1 = \frac{8 + 6}{10} = \frac{14}{10} = 1,4 \)
2. \( t_2 = \frac{8 - 6}{10} = \frac{2}{10} = 0,2 \)

Таким образом, у нас есть два корня: \( t_1 = 1,4 \) и \( t_2 = 0,2 \).

Чтобы определить, в каких интервалах у нас неравенство выполняется, рассмотрим промежутки:

1. \( t < 0,2 \)
2. \( 0,2 \leq t \leq 1,4 \)
3. \( t > 1,4 \)

Мы знаем, что у нас парабола, открывающаяся вверх (так как коэффициент при \( t^2 \) положительный). Она будет находиться ниже оси \( t \) между корнями. Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее трех метров в интервале:

\[ 0,2 \leq t \leq 1,4 \]

Теперь находим, сколько секунд он будет находиться выше трех метров:

\[ t_{max} - t_{min} = 1,4 - 0,2 = 1,2 \]

Ответ: мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров 1,2 секунды.