Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ℎ(𝑡) = 1, 6 + 8𝑡 − 5𝑡 , где 2 ℎ – высота в метрах, 𝑡 – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько…
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону ℎ(𝑡) = 1, 6 + 8𝑡 − 5𝑡 , где 2 ℎ – высота в метрах, 𝑡 – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?
Чтобы определить, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров, мы начнем с уравнения высоты \( h(t) \):
\[ h(t) = 1.6 + 8t - 5t^2 \]
Мы хотим найти время \( t \), при котором высота \( h(t) \) больше или равна 3 метрам. Это можно записать в виде неравенства:
\[ 1.6 + 8t - 5t^2 \geq 3 \]
Теперь перенесем 3 на левую сторону:
\[ 1.6 + 8t - 5t^2 - 3 \geq 0 \]
Упростим это уравнение:
\[ -5t^2 + 8t - 1.4 \geq 0 \]
Для облегчения решения перемножим обе стороны на -1 (при этом знак неравенства поменяется):
\[ 5t^2 - 8t + 1.4 \leq 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение, приравняв правую часть к нулю:
\[ 5t^2 - 8t + 1.4 = 0 \]
Воспользуемся формулой дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1.4 = 64 - 28 = 36 \]
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:
\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{8 \pm 6}{10} \]
Это даёт два корня:
- \( t_1 = \frac{14}{10} = 1.4 \)
- \( t_2 = \frac{2}{10} = 0.2 \)
Теперь у нас есть точки, в которых мяч пересекает высоту 3 метра: \( t = 0.2 \) секунды и \( t = 1.4 \) секунды.
Чтобы узнать, на какой интервал времени мяч находится выше 3 метров, оценим знак параболы. Поскольку коэффициент при \( t^2 \) отрицательный, парабола направлена вниз.
Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее трех метров в интервале от \( t = 0.2 \) до \( t = 1.4 \) секунд. Теперь рассчитаем длительность этого интервала:
\[ \Delta t = 1.4 - 0.2 = 1.2 \text{ секунды} \]
Таким образом, мяч будет находиться на высоте не менее трех метров в течение \( 1.2 \) секунды.
