Вычисли разность дробей z/(z-7)² - z/z²-49

Чтобы вычислить разность дробей \(\frac{z}{(z-7)^2} - \frac{z}{z^2 - 49}\), сначала обратим внимание на знаменатели дробей.

1. Заметим, что \(z^2 - 49\) можно разложить на множители, так как это разность квадратов: \[ z^2 - 49 = (z - 7)(z + 7). \]

2. Теперь нам нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для двух дробей будет: \[ (z - 7)^2(z + 7). \]

3. Приведем первую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{z}{(z - 7)^2} \cdot \frac{(z + 7)}{(z + 7)} = \frac{z(z + 7)}{(z - 7)^2(z + 7)}. \]

4. Приведем вторую дробь к общему знаменателю: \[ \frac{z}{(z + 7)(z - 7)} \cdot \frac{(z - 7)}{(z - 7)} = \frac{z(z - 7)}{(z - 7)^2(z + 7)}. \]

5. Теперь у нас есть: \[ \frac{z(z + 7)}{(z - 7)^2(z + 7)} - \frac{z(z - 7)}{(z - 7)^2(z + 7)}. \]

6. Теперь можно выполнить вычитание дробей: \[ \frac{z(z + 7) - z(z - 7)}{(z - 7)^2(z + 7)}. \]

7. Упростим числитель: \[ z(z + 7) - z(z - 7) = z^2 + 7z - (z^2 - 7z) = z^2 + 7z - z^2 + 7z = 14z. \]

8. Таким образом, получаем: \[ \frac{14z}{(z - 7)^2(z + 7)}. \]

Итак, разность дробей \(\frac{z}{(z-7)^2} - \frac{z}{z^2 - 49}\) равна: \[ \frac{14z}{(z - 7)^2(z + 7)}. \]