5. Симметричную монету подкинули 14 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 8 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 5 раз
Давайте рассчитаем вероятности обоих событий с помощью биномального распределения.
Для биномального распределения вероятность того, что событие произойдет \(k\) раз из \(n\) испытаний, рассчитывается по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
- \(p\) — вероятность успеха (в нашем случае, выпадение решки, \(p = 0.5\)),
- \(n\) — общее число испытаний,
- \(k\) — количество успехов (выпадений решки).
В данной задаче:
- \(n = 14\)
Теперь можем рассчитать вероятность того, что монета выпала решкой ровно 8 раз (\(k = 8\)):
\[ P(X = 8) = C(14, 8) (0.5)^8 (0.5)^{14 - 8} = C(14, 8) (0.5)^{14} \]
И вероятность того, что монета выпала решкой ровно 5 раз (\(k = 5\)):
\[ P(X = 5) = C(14, 5) (0.5)^5 (0.5)^{14 - 5} = C(14, 5) (0.5)^{14} \]
Так как множитель \((0.5)^{14}\) одинаков для обеих вероятностей, мы можем опустить его при сравнении вероятностей:
Итак, нам нужно найти отношение:
\[ \frac{P(X = 8)}{P(X = 5)} = \frac{C(14, 8)}{C(14, 5)} \]
Используем свойство биномиальных коэффициентов: \(C(n, k) = C(n, n - k)\). Таким образом, \(C(14, 8) = C(14, 6)\). Мы можем упростить наше соотношение:
\[ \frac{C(14, 8)}{C(14, 5)} = \frac{C(14, 6)}{C(14, 5)} = \frac{\frac{14!}{6!8!}}{\frac{14!}{5!9!}} = \frac{9!}{8!} \cdot \frac{5!}{6!} = \frac{9}{1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]
Таким образом, вероятность события, что монета выпала решкой ровно 8 раз, в \( \frac{3}{2} \) раз больше вероятности события, что монета выпала решкой ровно 5 раз.
