В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=2, A1B1=5, A1D1=14. Найдите длину диагонали CA1

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 координаты вершин можно задать следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(5, 0, 0) \) (поскольку \( A1B1 = 5 \))
• \( C(5, 2, 0) \) (поскольку \( BB1 = 2 \))
• \( D(0, 2, 0) \)

Теперь, поднимая точки A, B, C, D на высоту 14, получаем:

• \( A1(0, 0, 14) \)
• \( B1(5, 0, 14) \)
• \( C1(5, 2, 14) \)
• \( D1(0, 2, 14) \)

Теперь найдем координаты точки \( C \) и точки \( A1 \):

• Координаты \( C(5, 2, 0) \)
• Координаты \( A1(0, 0, 14) \)

Теперь рассчитываем длину диагонали \( CA1 \) по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

\[ CA1 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Подставим координаты:

\[ CA1 = \sqrt{(0 - 5)^2 + (0 - 2)^2 + (14 - 0)^2} \] \[ = \sqrt{(-5)^2 + (-2)^2 + 14^2} \] \[ = \sqrt{25 + 4 + 196} \] \[ = \sqrt{225} \] \[ = 15 \]

Таким образом, длина диагонали \( CA1 \) равна \( 15 \).