Реши пример

Давай решим этот пример вместе!

У нас есть \(\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}}\), и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)\). Нам нужно найти \(\tan \alpha\).

Шаг 1: Определим \(\sin \alpha\)

Используем основное тригонометрическое тождество:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

Подставим значение \(\cos \alpha\):

\(\sin^2 \alpha + \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1\),

\(\sin^2 \alpha + \frac{1}{5} = 1\).

Теперь решим уравнение:

\(\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\),

\(\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Поскольку \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)\), \(\sin \alpha\) должен быть положительным. Поэтому:

\(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\).

Шаг 2: Найдем \(\tan \alpha\)

Используем соотношение \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):

\(\tan \alpha = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = -2\).

Итак, \(\tan \alpha = -2\).

Надеюсь, это было понятно!