Сколько различных целых чисел удовлетворяет неравенству:  x 2 − 8 x − 24 < 0 x 2 −8x−24<0?

Давайте сначала решим неравенство \(x^2 - 8x - 24 < 0\).

Для решения этого неравенства найдём корни квадратного уравнения \(x^2 - 8x - 24 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(1)(-24) = 64 + 96 = 160. \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{160}}{2}. \]

Сначала упростим \(\sqrt{160}\):

\[ \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}. \]

Теперь подставим обратно в формулу корней:

\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{10}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{10}. \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_1 = 4 - 2\sqrt{10}, \quad x_2 = 4 + 2\sqrt{10}. \]

Теперь необходимо найти интервалы, на которых квадратное выражение \(x^2 - 8x - 24\) отрицательно.

Квадратное выражение открыто вверх, и оно будет отрицательным между корнями. Таким образом, знак выражения задан следующим образом:

\[ x^2 - 8x - 24 < 0 \quad \text{при} \quad 4 - 2\sqrt{10} < x < 4 + 2\sqrt{10}. \]

Теперь найдем приближённые значения корней:

\(\sqrt{10} \approx 3.16\), следовательно:

\[ 4 - 2\sqrt{10} \approx 4 - 6.32 \approx -2.32, \] \[ 4 + 2\sqrt{10} \approx 4 + 6.32 \approx 10.32. \]

Таким образом, неравенство выполняется при:

\[ -2.32 < x < 10.32. \]

Теперь определим, сколько целых чисел попадает в этот интервал. Целые числа в этом интервале:

\(-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\).

Считаем количество:

\[ 10 - (-2) + 1 = 10 + 2 + 1 = 13. \]

Таким образом, количество различных целых чисел, удовлетворяющих неравенству \(x^2 - 8x - 24 < 0\), равно \(13\).