решай

Привет! Давай разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный параллелепипед \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \) с известными ребрами: \( AB = 9 \), \( AD = 12 \), \( AA_1 = 18 \). Нужно найти синус угла между прямыми \( A_1D_1 \) и \( AC \).

Шаги решения:

1. Найдем векторы:

   • Вектор \( A_1D_1 \) проходит через верхнюю грань и равен \( (12, 0, 0) \).
   • Вектор \( AC \) проходит через диагональ нижней грани и равен \( (9, 12, 0) \).

2. Скалярное произведение векторов:
   Оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат. Для наших векторов: \[ (12, 0, 0) \cdot (9, 12, 0) = 12 \times 9 + 0 + 0 = 108 \]

3. Модули векторов:

   • Модуль \( |A_1D_1| = 12 \).
   • Модуль \( |AC| = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \).

4. Косинус угла между векторами:
   Косинус угла между векторами находится по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{108}{12 \times 15} = \frac{108}{180} = \frac{3}{5} \]

5. Синус угла:
   Синус находится по формуле: \[ \sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]

Ответ: синус угла между прямыми \( A_1D_1 \) и \( AC \) равен \( \frac{4}{5} \).