(1/12+1/13²):(1/12-1/13²)*(1/10³)

Для решения задачи \( \frac{\frac{1}{12} + \frac{1}{13^2}}{\frac{1}{12} - \frac{1}{13^2}} \times \frac{1}{10^3} \), давайте сначала упростим выражение в скобках.

1. Находим значения \( \frac{1}{12} \) и \( \frac{1}{13^2} \): \[ \frac{1}{13^2} = \frac{1}{169} \]

2. Складываем и вычитаем дроби: \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{13^2} = \frac{1}{12} + \frac{1}{169} \] Чтобы сложить дроби, необходимо найти общий знаменатель: Общий знаменатель для 12 и 169 равен \( 12 \times 169 = 2028 \).

   Переписываем дроби: \[ \frac{1}{12} = \frac{169}{2028}, \quad \frac{1}{169} = \frac{12}{2028} \] Теперь складываем: \[ \frac{169}{2028} + \frac{12}{2028} = \frac{169 + 12}{2028} = \frac{181}{2028} \]

3. Вычитаем дроби: \[ \frac{1}{12} - \frac{1}{13^2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{169} \] По тому же принципу находим общий знаменатель: \[ \frac{169}{2028} - \frac{12}{2028} = \frac{169 - 12}{2028} = \frac{157}{2028} \]

4. Теперь можем записать общее выражение: \[ \frac{\frac{181}{2028}}{\frac{157}{2028}} = \frac{181}{157} \]

5. Умножаем на \( \frac{1}{10^3} \): \[ \frac{181}{157} \times \frac{1}{1000} = \frac{181}{157000} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{181}{157000} \]