Школьница Катя путешествовала с родителями на катере по реке. Скорость катера относительно воды 7 м/с, скорость течения реки 3 м/с. Когда катер двигался против течения, Катя уронила в воде свою кепку. Пропажу обнаружили только после того как катер прошел против течения 4,2 км. После этого катер развернули и догнали плывущую кепку. Сколько времени прошло с момента падения и до нахождения кепки?

Для решения задачи, сначала найдем, с какой скоростью катер двигался против течения и с какой скоростью кепка текла по реке.

1. Скорость катера против течения:

   • Скорость катера относительно воды = 7 м/с
   • Скорость течения реки = 3 м/с
   • Скорость катера относительно берега против течения: \( v_{\text{катера}} = 7 \, \text{м/с} - 3 \, \text{м/с} = 4 \, \text{м/с} \)

2. Расстояние, прошедшее катеру против течения:

   • 4,2 км = 4200 м

3. Время, которое катер двигался против течения: Используем формулу для времени: \[ t = \frac{S}{V} = \frac{4200 \, \text{м}}{4 \, \text{м/с}} = 1050 \, \text{с} \]

4. Скорость кепки: Кепка начинает движение по течению сразу после падения и плывет со скоростью течения реки, т.е.: \[ v_{\text{кепки}} = 3 \, \text{м/с} \]

5. Расстояние, которое проплыла кепка за время \( t \): Мы нашли, что \( t = 1050 \, \text{с} \), следовательно, кепка проплыла: \[ S_{\text{кепки}} = v_{\text{кепки}} \cdot t = 3 \, \text{м/с} \cdot 1050 \, \text{с} = 3150 \, \text{м} \]

6. Общее расстояние, которое катер должен был пройти после разворота: После того как катер разворачивается, ему нужно догнать кепку, которая проплыла 3150 м. Однако катер уже находится на расстоянии 4200 м от точки, где кепка упала. При этом до точки с падением кепки остаётся: \[ 4200 \, \text{м} - 3150 \, \text{м} = 1050 \, \text{м} \]

7. Скорость катера после разворота: После разворота скорость катера будет равна: \[ v_{\text{катера}} = 7 \, \text{м/с} + 3 \, \text{м/с} = 10 \, \text{м/с} \]

8. Время, необходимое для того, чтобы догнать кепку: В данный момент катеру нужно догнать кепку, которая уже на 3150 м впереди (учтите, что с точки падения: 4200 м, - т.е. 1050 м, у катера). Для нахождения времени используем формулу: \[ t_{\text{догоняем}} = \frac{S}{V_{\text{катера}} - V_{\text{кепки}}} = \frac{1050 \, \text{м}}{10 \, \text{м/с} - 3 \, \text{м/с}} = \frac{1050}{7} \approx 150 \, \text{с} \]

9. Общее время от падения до нахождения кепки: \[ t_{\text{всего}} = t + t_{\text{догоняем}} = 1050 \, \text{с} + 150 \, \text{с} = 1200 \, \text{с} \]

Таким образом, время, прошедшее с момента падения кепки и до её нахождения, составило 1200 секунд, или 20 минут.