1.3. Случайные события В испытании, кроме случайных исходов, могут наступать слу- чайные события. Случайные события - это результаты испытания, которые можно выразить через его исходы. В качестве примера рассмотрим такую ситуацию. Два игрока подбрасывают игральный кубик, чтобы разыграть между собой ставку. Если выпадает нечетное число очков (1,3 или 5), то ставку забирает первый игрок. Если выпадает четное число очков (2, 4 или 6), то ставка достается его противнику. Таким образом, кроме исходов (ег - 1, ег - 2, es - 3, е4 - 4, es - 5, сь - 6) , результатами испытания будут выигрыши ставки первым и вторым игроками. Обозначим событие «ставку выиграл первый игрок» заглавной латинской буквой А, а событие «ставку выиграл второй игрок» - заглавной латинской буквой В. 10 Изобразим события 4 и В графиче-ски (рис. 1.8). Исходы бросания кубика представим в виде простых точек, рас-положенных в линию. Ниже тоже точка-ми обозначим события А и В. Проведем стрелки от исходов испытания к соответ-ствующим им событиям. Исходы 1,3 и 5 соединим с событием А, а исходы 2, 4 и Рис. 1.8 6 - с событием В. Если при появлении исхода наступает какос-то событие, то го-ворят, что данный исход благоприятствует этому событию, а само событие - это совокупность благоприятствующих ему исходов. В нашем случае событию А благоприятствуют исходы 1, 3 и 5, а событию В - исходы 2, 4 и б. Есть случайные события, которым благоприятствует только Например, все футбольные болельщики знают, что перед началом матча капитаны команд разыгрывают подбрасыванием монеты право либо выбрать ворота, либо начать первыми розыгрыш мяча. Пусть встречаются команды «Спартак» и «Динамо». Капитан «Спартака» загадывает выпадение «орла», а капитан «Динамо» - выпадение «решки». Обозначим как событие 4, что право выбора получит команда «Спартак», а как событие В - право выбора получит команда «Динамо». На- ступлению события А благоприятствует исход О («орел»), а наступлению события В - исход Р («решка»). Изобразим это графически (рис. 1,9). Заметим также, что и сами исходы испытаний Puc. 1.9 можно рассматривать как случайные события. На-пример, выпадение одного очка при бросании иг-рального кубика можно принять за событие А, ко- 1 3 :::! торому благоприятствует исход 1 (рис. 1.10). Рассмотрим примеры графического представления событий. Puc. 1.10 Пример 1.3. По условию примера 1.2 изо- бразите графически событие Л - Колобок покатился к Волку или к Медведю. 111 Решение. Изобразим точками исходы выбора тро-пинки Колобком (е, - 3, ег - В, e, - М, еа - Л) (рис, 1.11). Попаданию Колобка на тропинки, ведущие к Волку или к Медведю благоприятствуют исходы В и М. От них и проводим стрелки к событию А. Пример 1.4. За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озерная, Дачная, Пустынь. Изобразите графически событие А - пассажир купил билет не далее станции Озерная. Решение. Пусть покупка билета пассажиром - единичное ис- пытание. Запишем множество его исходов: . ® e, - Л (билет до станции Луговая): ег - С (билет до станции Сосновая): es - 0 (билет до станции Озерная): | са - Д (билет до станции Дачная): es - II (билет до станции Пустынь). Pur 112| Изобразим точками эти исходы (рис. 1.12). Событию 4 благоприятствуют исходы Л, С и О. От них проведем стрелки к событию А. Пример 1.5. Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Изобразите графически событие В - записано четное число. Решение. Будем считать, что ученик записывал 13348 число наугад. Множество исходов испытания состоит из пяти элементов: е, - 1 (записано 1): ег - 2 (записано 2); ез - 3 (записано 3): ед - 4 (записано 4): es - 5 (записано 5). Изобразим точками эти исходы Puc. 1.13 и 4, которы (рис. 1.13). Событию В благоприятствуют исходы 2 Упражнения 1.4. Изобразите графически случайные события, которые могут про- изойти в следующих единичных испытаниях. 1. Шахматисты Иванов и Петров бросают монету, чтобы определить, кто будет играть белыми фигурами. Иванов загадал выпадение «ор-ла», а Петров - «решки». Событие А - белыми будет играть Иванов, событие В - белыми будет играть Петров. 12 2. Бросанием игрального кубика разыгрывают ставку. Событие А - выигрыш ставки, если выпадет от одного до трех очков; событие В - выигрыш ставки, если выпадет пять очков; событие С - выигрыш ставки, если выпадет число очков, кратное трем. 3.Из урны, где лежат шары с номерами 2,4,6,7,8,9 достают один шар наугад. Событие А-достанут шар с номером больше 4 и меньше 8; событие В - достанут шар с нечетным номером; событие С - достанут шар с номером меньше 6. 4. Из копилки, где лежат пять разных монет достоинством 10 и 50 копеек, 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей, достают одну монету наугад. Событие А - достанут монету достоинством больше 1 рубля; событие В - достанут монету достоинством меньше 1 рубля; событие С - достанут монету достоинством больше 10 копеек и меньше 5 руб-лей. 5. Вини-Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пятачку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А - Вини-Пух пойдет к Пятачку; событие В - Вини-Пух пойдет к Кролику или ослику Иа-Иа, событие С - Вини-Пух не пойдет к Кролику. 6. На столе картинками вниз лежат восемь карт пиковой и трефовой масти: два туза, два короля, две дамы и два валета. Одинаковые по старшинству карты различаются мастью. Открывают одну карту наугад. Событие А - откроют туза; событие В - откроют карту младше короля; событие С - откроют карту пиковой масти; событие D - откроют короля треф 7. В билетной кассе конечной станции железной дороги продаются билеты до пунктов И, К, Л, М, Н, О, П, Р. Пункты перечислены в порядке удаления от конечной станции. Событие А — пассажир купит билет до пункта М, событие В — пассажир купит билет не дальше пункта М, событие С — пассажир купит билет дальше пункта М. 8. Учитель наметил опросить на уроке учеников: Иванова, Петрову, Сидорову, Круглова и Громова. Первый ученик вызывается для опроса наугад. Событие А — первой вызовут Петрову, событие В первым вызовут или Иванова, или Громова, событие С - первым вызовут или Иванова, или Сидорову, или Круглова. 9. Генератор случайных чисел может показать любое целое число от 0 до 9. Событие А - покажет 0; событие В - покажет простое число; событие С - не покажет нечетного числа. 10. В небольшом городе семь автобусных маршрутов. Все они начинаются на окраине города на автобусной станции и проходят через центральную площадь города. Приезжий, не знающий города, са-дится на автобусной станции в первый попавшийся автобус и едет в центр. На автобусах маршрутов Nº 1 и Nº5 в центр города можно попасть за 10 минут, на автобусе Nº 2 - за 15 минут, на автобусах Nº 3 и Nº 6 - за 20 минут, на автобусе Nº 4 - за 25 минут, а на автобусе Nº 7 - за полчаса. Событие Л - приезжий доедет до центра не дольше, чем за 15 минут; событие В - приезжий доедет до центра не быстрее, чем за 25 минут; событие С - на дорогу в центр города приезжий затратит от 15 до 20 минут. Сделать конспект ориентируясь,на предоставленный выше текст.Выполнить все упражнения.