На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Для решения этой задачи нам нужно сначала определить, что представляет собой фигура, которую мы рассматриваем.

Прямоугольник ABCD имеет четыре стороны, и точки K, L, M и N являются серединами этих сторон. Давайте обозначим стороны прямоугольника следующим образом:

• A (0, h)
• B (w, h)
• C (w, 0)
• D (0, 0)

где w — ширина, а h — высота прямоугольника. Тогда середины сторон будут:

• K (w/2, h)
• L (w, h/2)
• M (w/2, 0)
• N (0, h/2)

Теперь мы можем найти координаты вершин треугольника LMN:

• L (w, h/2)
• M (w/2, 0)
• N (0, h/2)

Чтобы найти площадь треугольника LMN, воспользуемся формулой для площади треугольника по координатам вершин:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

Подставим координаты точек L, M и N:

• \( x_1 = w, y_1 = h/2 \)
• \( x_2 = w/2, y_2 = 0 \)
• \( x_3 = 0, y_3 = h/2 \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \left| w(0 - h/2) + \frac{w}{2}(h/2 - h/2) + 0(h/2 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{wh}{2} \right| = \frac{wh}{4} \]

Следовательно, площадь треугольника LMN равна \( \frac{wh}{4} \).

Теперь находим площадь всего прямоугольника ABCD:

\[ S_{ABCD} = w \cdot h \]

Для нахождения вероятности того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит треугольнику LMN, нам нужно разделить площадь треугольника на площадь всего прямоугольника:

\[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{wh}{4}}{wh} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику LMN, равна \( \frac{1}{4} \) или 25%.