На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике \(ABCD\) будет принадлежать треугольнику \(LMN\), сначала определим необходимые элементы.

1. Площадь прямоугольника \(ABCD\): Обозначим длину \(AB = a\) и ширину \(AD = b\). Тогда площадь прямоугольника будет равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]

2. Определение координат точек: Пусть координаты вершин прямоугольника \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a, b)\), \(D(0, b)\). Тогда координаты середины сторон будут:

   • \(K\) — середина \(AB\): \(K\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)
   • \(L\) — середина \(BC\): \(L\left(a, \frac{b}{2}\right)\)
   • \(M\) — середина \(CD\): \(M\left(\frac{a}{2}, b\right)\)
   • \(N\) — середина \(DA\): \(N\left(0, \frac{b}{2}\right)\)

3. Площадь треугольника \(LMN\): Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты вершин:

   • \(L(a, \frac{b}{2})\)
   • \(M(\frac{a}{2}, b)\)
   • \(N(0, \frac{b}{2})\)

   Тогда площадь треугольника \(LMN\) будет: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{b}{2} - b\right) + 0\left(b - \frac{b}{2}\right) \right| \] Упрощаем: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a \cdot 0 + \frac{a}{2} \cdot \left(-\frac{b}{2}\right) + 0 \cdot \frac{b}{2} \right| = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{ab}{4}\right) = \frac{ab}{8} \]

4. Нахождение вероятности: Теперь, чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике принадлежит треугольнику \(LMN\): \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике \(ABCD\) будет принадлежать треугольнику \(LMN\), равна \(\frac{1}{8}\).