Площадь прямоугольного треугольника равна 882√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника, где площадь равна \(882\sqrt{3}\) и один из острых углов равен \(30^\circ\), воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b, \]
где \(a\) и \(b\) — катеты треугольника. Поскольку один из углов равен \(30^\circ\), мы можем определить отношения между сторонами треугольника.
Для прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\), длины катетов выражаются через гипотенузу \(c\) следующим образом:
- катет напротив угла \(30^\circ\) будет равен \(\frac{c}{2}\),
- другой катет (прилежащий) составит \(\frac{c\sqrt{3}}{2}\).
Теперь подставим эти значения в формулу площади:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8}. \]
Мы знаем, что площадь \(S\) равна \(882\sqrt{3}\), следовательно:
\[ \frac{c^2\sqrt{3}}{8} = 882\sqrt{3}. \]
Упростим уравнение, деля обе стороны на \(\sqrt{3}\) (предполагая, что \(\sqrt{3} \neq 0\)):
\[ \frac{c^2}{8} = 882. \]
Теперь умножим обе стороны на 8:
\[ c^2 = 882 \cdot 8 = 7056. \]
Чтобы найти \(c\), возьмем квадратный корень:
\[ c = \sqrt{7056}. \]
Выполнив вычисления, получаем:
\[ c = 84. \]
Таким образом, длина гипотенузы этого прямоугольного треугольника равна \(84\).
