(x+9)^4+5(x+9)^2-24=0
Давайте решим уравнение \( (x+9)^4 + 5(x+9)^2 - 24 = 0 \).
Сначала сделаем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть \( y = (x + 9)^2 \). Тогда наше уравнение можно записать как:
\[ y^2 + 5y - 24 = 0. \]
Теперь это квадратное уравнение, и мы можем его решить, используя формулу для решения квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1 \), \( b = 5 \), и \( c = -24 \).
Подставим значения в формулу:
- Сначала найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121. \]
- Теперь подставим в формулу для решения:
\[ y = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 11}{2}. \]
Это дает два решения:
- \( y_1 = \frac{-5 + 11}{2} = \frac{6}{2} = 3, \)
- \( y_2 = \frac{-5 - 11}{2} = \frac{-16}{2} = -8. \)
Теперь вспомним, что \( y = (x + 9)^2 \). Так как \( y_2 = -8 \) не может быть решением (квадрат числа не может быть отрицательным), оставим только \( y_1 = 3 \).
Теперь вернемся к переменной \( x \):
\[ (x + 9)^2 = 3. \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ x + 9 = \pm \sqrt{3}. \]
Это дает два решения:
- \( x = -9 + \sqrt{3}, \)
- \( x = -9 - \sqrt{3}. \)
Таким образом, решения уравнения \( (x + 9)^4 + 5(x + 9)^2 - 24 = 0 \):
\[ x = -9 + \sqrt{3} \quad \text{и} \quad x = -9 - \sqrt{3}. \]
