Частица движется прямолинейно в положительном направлении оси Ох. В некоторый момент времени она находится в начале координат и имеет скорость 5 м/с. С этого момента времени…
Частица движется прямолинейно в положительном направлении оси Ох. В некоторый момент времени она находится в начале координат и имеет скорость 5 м/с. С этого момента времени движение частицы становится ускоренным, причем проекция ускорения на ось Ох пропорциональна текущей координате х частицы: а (х)=Вх, где В=1 с ". Какую скорость будет иметь частица в точке с координатой хк =10 м?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть частица, которая в момент времени \( t = 0 \) находится в начале координат (то есть \( x(0) = 0 \)) и имеет начальную скорость \( v(0) = 5 \, \text{м/с} \). Из условия задачи известно, что ускорение частицы пропорционально её координате \( x \):
\[ a(x) = Bx, \]
где \( B = 1 \, \text{с}^{-2} \).
Так как ускорение является производной скорости по времени, мы можем записать следующее уравнение:
\[ a = \frac{dv}{dt} = Bx. \]
Мы знаем, что по определению скорости можно выразить \( v \) как производную координаты:
\[ v = \frac{dx}{dt}. \]
Теперь, поскольку \( a = Bx \), давайте выразим ускорение через координату \( x \) и скорость \( v \):
\[ \frac{dv}{dt} = Bx = B \frac{dx}{v} \quad \text{(по цепному правилу)}. \]
Теперь мы можем переписать \( a = B \frac{dx}{dt} \) в следующем виде:
\[ dv = Bx \cdot dt. \]
Но, чтобы продолжить решение, воспользуемся другим методом. Мы можем использовать закон сохранения энергии, так как природа движения частиц описывается вторым законом Ньютона.
Для получения зависимости между скоростью и координатой можем использовать уравнение:
\[ \frac{dv}{dx} = a(x) = Bx. \]
Интегрируем это уравнение. Сначала переместим \( v \) в левую сторону и \( Bx \) в правую:
\[ dv = Bx \, dx. \]
Теперь интегрируем обе стороны, начиная с начальных условий. Сначала интегрируем по скорости от начальной скорости \( v_0 = 5 \) до \( v \) и по \( x \) от \( 0 \) до \( x \):
\[ \int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{x} Bx \, dx. \]
Слева у нас будет:
\[ v - v_0 = \frac{B}{2} x^2. \]
Подставляя \( B = 1 \):
\[ v - 5 = \frac{1}{2} x^2. \]
Теперь, решая для скорости \( v \):
\[ v = 5 + \frac{1}{2} x^2. \]
Теперь можем подставить значение \( x_k = 10 \, \text{м} \):
\[ v = 5 + \frac{1}{2} \cdot 10^2 = 5 + \frac{1}{2} \cdot 100 = 5 + 50 = 55 \, \text{м/с}. \]
Таким образом, скорость частицы в точке с координатой \( x_k = 10 \, \text{м} \) будет равна \( 55 \, \text{м/с} \).
