Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся -- в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не…

Давайте рассмотрим задачу внимательно. У нас есть двадцать чисел, сумма которых равна 0. Это означает, что если мы обозначим все числа как \( x_1, x_2, \ldots, x_{20} \), то:

\[ x_1 + x_2 + \ldots + x_{20} = 0. \]

Теперь, чтобы доказать, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а девять из оставшихся – в синий, так, чтобы сумма девяти синих была не меньше, чем сумма десяти красных, начнем с некоторых обозначений.

Пусть \( S_R \) – это сумма десяти красных чисел, а \( S_B \) – сумма девяти синих чисел. Нам нужно показать, что:

\[ S_B \geq S_R. \]

После окраски десяти чисел в красный цвет, у нас остается десять чисел, сумма которых также равна 0, т.е. сумма оставшихся чисел равна \( -S_R \) (так как сумма всех двадцати чисел равна 0):

\[ x_{11} + x_{12} + \ldots + x_{20} = -S_R. \]

Теперь нам нужно выбрать девять из оставшихся десяти чисел и покрасить их в синий цвет. Сумма оставшихся чисел (одного числа) будет равна:

\[ x_{j} = -S_R - S_B, \]

где \( S_B \) – это сумма выбранных девяти синих чисел. Чтобы доказать, что \( S_B \) может быть не меньше, чем \( S_R \), достаточно показать, что:

\[ -S_R \leq S_B. \]

Это происходит из того, что если мы выберем такое число, которое будет маленьким по объему (может быть даже отрицательным), то для оставшихся девяти синих чисел может быть возможность увеличить сумму, уравновесив её.

Таким образом, используя свойства чисел и возможность их выбора, мы можем обеспечить, чтобы сумма девяти синих чисел не была меньше суммы десяти красных чисел.

Таким образом, существует такая окраска, которая удовлетворяет условиям задачи.