Реши через теорему Виета два а² - 7а- 4

Для решения уравнения \(2a^2 - 7a - 4 = 0\) с помощью теоремы Виета, нам нужно сначала привести его к стандартному виду, но заметим, что оно уже записано в нужной форме.

Расставим коэффициенты:

• \(A = 2\) (коэффициент при \(a^2\)),
• \(B = -7\) (коэффициент при \(a\)),
• \(C = -4\) (свободный член).

Согласно теореме Виета, если уравнение \(Ax^2 + Bx + C = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то выполняются следующие соотношения:

1. \(x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}\),
2. \(x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}\).

Подставим наши значения:

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2} \]

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь мы знаем, что сумма корней \(x_1\) и \(x_2\) равна \(\frac{7}{2}\), а их произведение равно \(-2\).

Для нахождения корней мы можем рассмотреть квадратный трехчлен, используя \(t^2 - st + p = 0\), где \(s = \frac{7}{2}\) и \(p = -2\).

Теперь найдем корни этого уравнения по формуле:

\[ x^2 - sx + p = 0 \] \[ x^2 - \frac{7}{2}x - 2 = 0 \]

Умножаем на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 2x^2 - 7x - 4 = 0 \]

Теперь используем формулу корней: \[ x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \]

Подставляем значения: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} \] \[ = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} \] \[ = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ = \frac{7 \pm 9}{4} \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \(x_1 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4\)
2. \(x_2 = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Итак, корни уравнения \(2a^2 - 7a - 4 = 0\) равны \(a_1 = 4\) и \(a_2 = -\frac{1}{2}\).